Bangoua-IT — Calculer en binaire

1. Faut-il revenir en base 10 ?

Nous savons maintenant représenter un entier en binaire et passer d’une représentation à une autre.

Supposons que nous voulions calculer :

1011₂ + 1101₂

Une possibilité serait de convertir les deux nombres en base 10, d’effectuer l’addition, puis de convertir le résultat en base 2.

Mais ce détour n’est pas nécessaire.

Problème. Peut-on effectuer directement une addition avec des nombres écrits en base 2 ?

2. Pourquoi utilise-t-on des retenues ?

Revenons à une addition que nous savons déjà effectuer :

  8
+ 7
---
 15

En base 10, nous ne disposons que des chiffres de 0 à 9.

Lorsque le résultat atteint 10, nous écrivons 0 dans la colonne et reportons 1 dans la colonne suivante.

Idée essentielle. La retenue apparaît lorsque le résultat atteint la valeur de la base.

En base 2, cette valeur est donc... 2.

3. Les règles de l’addition binaire

Puisqu’il n’existe que deux chiffres, les cas possibles sont peu nombreux.

Calcul	Résultat
0 + 0	0
0 + 1	1
1 + 0	1
1 + 1	10

Attention.

En base 2 :

1 + 1 = 10₂

On écrit donc 0 et on retient 1.

4. Poser une addition binaire

Reprenons :

1011₂ + 1101₂

Nous procédons de droite à gauche, exactement comme pour une addition décimale.

   1 1 1
     1 0 1 1
   + 1 1 0 1
   -----------
   1 1 0 0 0

Nous obtenons :

1011₂ + 1101₂ = 11000₂

5. Vérifier le résultat

Une conversion en base 10 permet de contrôler notre calcul.

1011₂ = 11₁₀

1101₂ = 13₁₀

Or :

11 + 13 = 24

et :

11000₂ = 24₁₀

Bonne pratique. Pendant l’apprentissage, convertir le résultat en base 10 est un moyen simple de vérifier une opération binaire.

6. À vous de calculer

Effectuez directement en base 2 :

1011₂ + 110₂
11011₂ + 10101₂
11101₂ + 11101₂

Vérifiez ensuite vos résultats en utilisant la base 10.

7. Multiplier en binaire

La multiplication binaire est particulièrement simple, car il n’existe que quatre produits élémentaires.

Calcul	Résultat
0 × 0	0
0 × 1	0
1 × 0	0
1 × 1	1

La multiplication posée fonctionne ensuite comme en base 10.

Considérons :

101₂ × 11₂

Donc :

101₂ × 11₂ = 1111₂

Vérification :

5 × 3 = 15

8. Une propriété intéressante

Observons :

101₂ = 5₁₀

et :

1010₂ = 10₁₀

Ajouter un zéro à droite d’une écriture binaire revient donc à multiplier sa valeur par 2.

À comparer avec la base 10.

En décimal, ajouter un zéro à droite multiplie par 10.

En binaire, ajouter un zéro à droite multiplie par 2.

Ce n’est pas une particularité du binaire : dans une base b, décaler les chiffres d’une position vers la gauche multiplie la valeur par b.

9. S’entraîner

Effectuez en base 2 :

1011₂ × 110₂
11011₂ × 10101₂

Vérifiez vos résultats en convertissant les opérandes et le résultat en base 10.

10. Synthèse

En base 2	À retenir
1 + 1	10 : écrire 0, retenir 1
Addition	Même principe qu’en base 10, mais les retenues apparaissent à 2
Multiplication	Les seuls produits sont 0 et 1
Décalage à gauche	Multiplie la valeur par 2

Idée centrale. Les règles du calcul posé ne sont pas propres à la base 10. Elles reposent sur la base utilisée.

11. Ce que nous savons maintenant faire

Nous sommes partis de notre écriture habituelle des nombres pour comprendre le principe de la numération positionnelle.

Nous savons désormais :

interpréter une écriture binaire ;
convertir un entier d’une base à une autre ;
utiliser l’hexadécimal ;
effectuer des calculs directement en binaire.

Mais une nouvelle difficulté apparaît.

Jusqu’ici, tous les nombres étudiés étaient positifs ou nuls.

Comment une machine peut-elle représenter un nombre comme -13 avec uniquement des bits ?

Cette question nous conduit à la représentation des entiers relatifs.