Bangoua-IT — 🏠 Accueil

Première • Types et valeurs de base

Utiliser le complément à deux

Représenter les entiers négatifs et calculer directement avec leurs écritures binaires.

1. Construire une meilleure représentation

Réserver simplement un bit au signe permet de représenter des nombres positifs et négatifs.

Mais cette solution possède deux défauts importants :

  • elle produit deux représentations de zéro ;
  • elle complique les opérations arithmétiques.

Le complément à deux utilise une autre convention, conçue notamment pour permettre d’effectuer plus simplement les calculs.

Problème. Comment obtenir une représentation de -37 à partir de celle de +37 ?

2. Construire l’opposé

Sur 8 bits :

+37 = 0010 0101

Pour construire la représentation de son opposé, on effectue deux opérations.

Étape 1 : Inverser tous les bits 

0010 0101
↓
1101 1010

Chaque 0 devient 1 et chaque 1 devient 0.

Étape 2 : Ajouter 1 

1101 1010
+       1
---------
1101 1011
Complément à deux. Pour obtenir l’opposé d’un entier représenté sur n bits :
  1. inverser tous les bits ;
  2. ajouter 1.

3. Un peu de vocabulaire

L’inversion de tous les bits est appelée complément à un.

L’ajout de 1 au résultat produit le complément à deux.

8 bits
+37 0010 0101
Bits inversés 1101 1010
+ 1 1101 1011
Valeur -37

4. Encoder un entier relatif

Cas d’un entier positif ou nul

On utilise son écriture binaire habituelle sur n bits.

Exemple : 

+37 → 0010 0101

Cas d’un entier négatif

  1. écrire sa valeur absolue sur n bits ;
  2. inverser tous les bits ;
  3. ajouter 1.
À vous de jouer.

Sur 8 bits, donner la représentation de -51.

5. Décoder une représentation

Pour interpréter une suite de bits en complément à deux, on commence par observer le bit de poids fort.

Si le bit de poids fort vaut 0

Le nombre est positif ou nul. On lit la valeur comme un entier naturel.

Exemple :

0010 01012 = 3710

Si le bit de poids fort vaut 1

Le nombre est négatif.

Pour retrouver sa valeur absolue :

  1. inverser les bits ;
  2. ajouter 1 ;
  3. lire la valeur obtenue en base 10 ;
  4. placer le signe -.

6. Exemple de décodage

Interprétons :

1010 0101

Le bit de poids fort vaut 1 : la valeur est donc négative.

Représentation 1010 0101
Inversion 0101 1010
+ 1 0101 1011

0101 10112 = 64 + 16 + 8 + 2 + 1 = 91

Donc :

1010 0101 représente -91

7. S’entraîner à décoder

Sur 8 bits en complément à deux, déterminer la valeur décimale de :
  • 0011 0011
  • 1011 0011
  • 1111 1110

8. Quelles valeurs peut-on représenter ?

Sur n bits, le complément à deux permet de représenter les entiers :

-2n-1 à 2n-1 - 1

Sur 8 bits :

-128 à +127

Pourquoi la plage n’est-elle pas symétrique ?

Le complément à deux ne possède qu’une seule représentation de zéro.

La combinaison supplémentaire est utilisée pour représenter -128.

9. Additionner des entiers signés

L’un des principaux intérêts du complément à deux apparaît maintenant :

on peut utiliser la même addition binaire que pour les entiers naturels.

Exemple :

37 + 10 

  0010 0101
+ 0000 1010
-----------
  0010 1111

Or :

0010 11112 = 4710

10. Transformer une soustraction en addition

Considérons :

41 - 23

On peut écrire :

41 + (-23)

Sur 8 bits : 

+41 = 0010 1001

+23 = 0001 0111
       ↓ inversion
      1110 1000
       ↓ + 1
-23 = 1110 1001

Additionnons : 

  0010 1001
+ 1110 1001
-----------
1 0001 0010

Le résultat est limité à 8 bits : la retenue située au-delà est ignorée. 

0001 0010

qui représente :

18

Idée essentielle. La soustraction peut être transformée en addition de l’opposé.

12. Une représentation de taille limitée

Sur 8 bits, la plus grande valeur représentable est :

127

Considérons :

125 + 4

Mathématiquement :

125 + 4 = 129

Mais 129 ne peut pas être représenté comme entier signé sur 8 bits en complément à deux.

Dépassement. Lorsqu’un résultat sort de la plage représentable, il y a overflow ou dépassement.

13. Repérer un dépassement

Lors d’une addition d’entiers signés en complément à deux, un dépassement se produit notamment lorsque :

  • les deux opérandes ont le même signe ;
  • le résultat obtenu possède un signe différent.

Par exemple, additionner deux nombres positifs et obtenir une représentation interprétée comme négative signale un dépassement.

14. Exercices de synthèse

Sur 8 bits en complément à deux :
  1. calculer 8 - 3 directement en binaire ;
  2. calculer -7 - 5 ;
  3. calculer 58 - 49 ;
  4. calculer 125 + 4 et analyser le résultat.

15. Bilan

Situation Méthode
Encoder un entier positif Écriture binaire habituelle sur n bits
Encoder un entier négatif Écrire la valeur absolue, inverser les bits, ajouter 1
Décoder un MSB = 0 Lire comme entier naturel
Décoder un MSB = 1 Complément à deux, lecture de la valeur absolue, signe −
Soustraire Ajouter l’opposé
Plage sur n bits -2n-1 à 2n-1 - 1
Idée centrale. Une suite de bits n’a de sens qu’avec une convention d’interprétation et un nombre de bits fixé.

16. Et les nombres avec une partie décimale ?

Nous savons maintenant représenter des entiers positifs et négatifs.

Mais de nombreux calculs utilisent des nombres comme :

3,14    -0,75    0,1

Nouveau problème. Comment représenter des nombres possédant une partie fractionnaire avec un nombre limité de bits ?