Bangoua-IT — Convertir et changer de représentation

1. Partir d’une valeur décimale

Nous savons désormais interpréter une écriture binaire.

Par exemple :

1101₂ = 13₁₀

Mais supposons maintenant que nous connaissions seulement la valeur décimale :

Problème. Comment trouver systématiquement son écriture en base 2 ?

2. Passer de la base 10 à la base 2

Une méthode systématique consiste à effectuer des divisions entières successives par 2.

Méthode

diviser le nombre par 2 ;
noter le reste ;
recommencer avec le quotient ;
arrêter lorsque le quotient vaut 0 ;
lire les restes de la fin vers le début.

Divisions successives par 2 pour obtenir une écriture binaire — Les restes sont lus de la dernière division vers la première.

À vous de jouer.

Écrire en base 2 :

25₁₀
86₁₀

3. Passer de la base 2 à la base 10

Pour retrouver la valeur décimale, nous utilisons la numération positionnelle étudiée précédemment.

Méthode

Multiplier chaque bit par la puissance de 2 correspondant à sa position, puis additionner.

Par exemple :

1010110₂ = 1 × 2⁶ + 0 × 2⁵ + 1 × 2⁴ + 0 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰

= 64 + 16 + 4 + 2 = 86₁₀

À vous de jouer.

Calculer en base 10 :

10001001₂
111010011101₂

4. Une écriture plus compacte : l’hexadécimal

Les écritures binaires deviennent rapidement longues.

La base 16, appelée hexadécimal, utilise seize symboles :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Les lettres représentent :

Hexadécimal	A	B	C	D	E	F
Valeur décimale	10	11	12	13	14	15

Pourquoi la base 16 est-elle pratique ? Un chiffre hexadécimal correspond exactement à 4 bits.

5. Passer de la base 10 à la base 16

Nous retrouvons exactement le principe utilisé pour la base 2.

Méthode

Effectuer des divisions entières successives par 16 puis lire les restes de la fin vers le début.

Divisions successives par 16 — Exemple : 235₁₀ = EB₁₆ .

À vous de jouer.

Écrire en base 16 :

316₁₀
756₁₀

6. Passer directement du binaire à l’hexadécimal

Puisque :

16 = 2⁴

un chiffre hexadécimal correspond exactement à un groupe de 4 bits.

Hexa	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
Binaire	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

7. Binaire vers hexadécimal

Méthode

regrouper les bits par groupes de 4 en partant de la droite ;
compléter éventuellement le groupe de gauche avec des 0 ;
remplacer chaque groupe par le chiffre hexadécimal correspondant.

Exemple :

10110101101₂

devient :

0101 1010 1101

puis :

5AD₁₆

8. Hexadécimal vers binaire

Dans l’autre sens, chaque chiffre hexadécimal est remplacé par son bloc de 4 bits.

Exemple :

E2B₁₆

devient :

1110 0010 1011₂

À vous de jouer.

Écrire en base 16 :

10101101₂
11100010₂
100110111011₂

Puis écrire en base 2 :

7A₁₆
09F₁₆
C5D₁₆

9. Généraliser à une base quelconque

Base 10, base 2 et base 16 utilisent finalement le même principe.

Dans une base b, une écriture :

(d_kd_k-1...d₁d₀)_b

représente la valeur :

d_kb^k + d_k-1b^k-1 + ... + d₁b + d₀

avec :

0 ≤ d_i < b

Le principe ne change jamais. Seule la base utilisée et donc la valeur des positions changent.

10. Synthèse

Conversion	Méthode
Base 10 → base 2	Divisions successives par 2
Base 2 → base 10	Somme pondérée
Base 10 → base 16	Divisions successives par 16
Base 2 ↔ base 16	Groupes de 4 bits

11. Et pour calculer ?

Nous savons maintenant représenter une même valeur de plusieurs façons et passer d’une écriture à une autre.

Mais si deux nombres sont déjà écrits en binaire, faut-il nécessairement revenir en base 10 pour les additionner ?

Nouvelle question. Peut-on effectuer directement des calculs en base 2 ?

3. Calculer en binaire