1. Pourquoi 352 signifie-t-il trois cent cinquante-deux ?
Nous savons immédiatement lire le nombre 352.
Pourtant, les trois chiffres qui le composent ne représentent pas simplement 3, 5 et 2.
Leur valeur dépend de leur position.
2. Notre système habituel : la base 10
Dans notre système décimal, nous disposons de dix chiffres :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Chaque position correspond à une puissance de 10.
Ainsi :
352 = 3 × 102 + 5 × 101 + 2 × 100
c’est-à-dire :
352 = 3 × 100 + 5 × 10 + 2 × 1
Lire une écriture positionnelle
En partant de la droite :
- la première position correspond à 100 ;
- la suivante à 101 ;
- puis 102 ;
- et ainsi de suite.
3. Vérifier sur une écriture connue
Décomposez l’entier 23 405 en utilisant des puissances de 10.
Observez notamment le chiffre 0.
4. Et si nous changions de base ?
Le principe précédent ne dépend pas du nombre 10.
Dans une base quelconque, chaque position correspond à une puissance de cette base.
b0, b1, b2, b3, ...
Nous pouvons donc choisir une base qui ne possède que deux chiffres.
5. La base 2
La base 2, ou binaire, utilise uniquement :
0 et 1
Les positions correspondent maintenant aux puissances de 2 :
| Position | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|
| Puissance | 23 | 22 | 21 | 20 |
| Valeur | 8 | 4 | 2 | 1 |
6. Lire une écriture binaire
Considérons l’écriture :
11012
L’indice 2 indique que cette écriture est en base 2.
Comme en base 10, nous utilisons la position de chaque chiffre :
11012 = 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
donc :
11012 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310
1310 et 11012 sont deux écritures de la même valeur.
7. Un chiffre binaire : un bit
Chaque chiffre d’une écriture binaire est appelé un bit, contraction de binary digit.
Un bit peut prendre deux valeurs :
0 ou 1
Avec plusieurs bits, on peut représenter de plus en plus de valeurs différentes.
| Nombre de bits | Nombre de combinaisons |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 16 |
| 8 | 256 |
8. Lire quelques nombres binaires
Sans effectuer de conversion avec une calculatrice, déterminez la valeur décimale de :
- 10102
- 100012
- 111112
9. Que peut-on représenter sur 8 bits ?
Sur 8 bits, il existe :
28 = 256
combinaisons différentes.
Si nous utilisons ces combinaisons pour représenter des entiers naturels à partir de 0, nous pouvons donc représenter :
de 0 à 255
10. Synthèse
- Une numération positionnelle utilise les puissances d’une base.
- En base 10, les positions correspondent aux puissances de 10.
- En base 2, elles correspondent aux puissances de 2.
- Un chiffre binaire est appelé un bit.
- Avec n bits, on dispose de 2n combinaisons.
1310 et 11012 ne sont pas deux nombres différents.
Ce sont deux représentations de la même valeur.
11. Et dans l’autre sens ?
Nous savons maintenant interpréter une écriture binaire.
Mais supposons que l’on parte de l’entier décimal 86.
C’est le problème de la prochaine leçon.