Une même valeur, plusieurs écritures
Dans la vie courante, nous écrivons les nombres avec dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 .
Cette manière d’écrire les nombres nous semble naturelle, mais ce n’est qu’un système de représentation parmi d’autres.
Un ordinateur, lui, manipule des informations représentées à l’aide de deux états.
Les nombres doivent donc pouvoir être représentés uniquement à l’aide des symboles 0 et 1.
Valeur et écriture
Considérons l’entier que nous écrivons habituellement :
13
Cette écriture utilise notre système décimal.
Pourtant, la même quantité peut être représentée avec une autre écriture.
Pour comprendre comment plusieurs écritures peuvent représenter une même valeur, nous commencerons par examiner un système que nous connaissons déjà : la base 10.
La position des chiffres compte
Dans notre écriture habituelle, la valeur d’un chiffre dépend de sa position.
Dans le nombre 352, le chiffre 3 ne représente pas simplement 3 : il représente 3 centaines.
De même :
- 3 représente 3 × 100 ;
- 5 représente 5 × 10 ;
- 2 représente 2 × 1 .
Cette idée ne dépend pas de la base 10.
Elle permettra également de représenter les nombres avec seulement deux chiffres : 0 et 1.
Pourquoi la base 2 ?
La base 2, appelée également binaire, n’utilise que deux chiffres :
0 et 1
Elle est particulièrement adaptée aux systèmes numériques, dans lesquels on peut distinguer deux états.
1101
représente la même valeur
que l’écriture décimale
13.
Mais il reste à comprendre pourquoi.
Pourquoi une troisième écriture ?
Le binaire convient très bien aux machines, mais les écritures binaires deviennent rapidement longues pour les humains.
Une autre base est donc très utilisée en informatique : la base 16, appelée hexadécimal.
Elle permet d’écrire de manière beaucoup plus compacte certaines valeurs binaires.
Une couleur Web peut être écrite :
#00A5E9
Les lettres présentes dans cette écriture appartiennent à la notation hexadécimale.
Le parcours
Nous allons construire progressivement ces différentes représentations en trois étapes.
1. Comprendre la numération et le binaire
Partir de la base 10 pour comprendre la numération positionnelle, puis découvrir comment un entier peut être écrit en base 2.
2. Convertir et changer de représentation
Passer du décimal au binaire et inversement, puis découvrir l’écriture hexadécimale.
Nous verrons également pourquoi les conversions entre binaire et hexadécimal sont particulièrement simples.
3. Calculer en binaire
Nous effectuerons ensuite directement des opérations sur des nombres écrits en base 2.
Une idée à garder en tête
Décimal, binaire ou hexadécimal sont différentes manières de représenter une même valeur.
Cette distinction sera importante dans toute la suite de la représentation des données.
Un ordinateur ne manipule pas directement les objets tels que nous les percevons : il manipule des représentations de ces objets.